Website-Archiv: Approximationen
Es gibt keine Approximationen mehr auf kartenprojektionen.de.
Dieser Text wurde nur beibehalten, falls es jemanden interessiert, worum es dabei ging.
Die meisten Grafiken der Entwürfe auf dieser Website wurden von Programmen erzeugt,
welche die Original-Formel des Urhebers verwenden.
In manchen Fällen aber war das nicht möglich und eine passende Grafik habe ich im Web nicht gefunden.
Dann habe ich mit Hilfe des Flex Projectors versucht, den fraglichen Entwurf so genau wie möglich
nachzubauen.
Bis zu einem gewissen Grad war ich damit erfolgreich, aber keine dieser Nachbildungen entspricht dem Original
zu 100% – daher werden sie Approximationen (Annäherungen) genannt.
Im Folgenden liste ich auf, für welche Grafiken das gilt, wie ich sie erstellt habe und wie gut die Annäherung jeweils gelungen ist.
Falls Du diese Annäherungen verbessern willst: Siehe unten!
Eckert II
Alle Grafiken des Eckert II-Entwurfs sind Annäherungen, die im Flex Projector
aus dem Eckert I generiert wurden, und zwar durch das Anpassen der Werte für die Länge
und den Abstand der Parallelkreise.
Die Approximation kommt dem Original sehr nahe, allerdings weist der Flex Projector noch leicht
abweichende Werte für die Größen-Verzerrung aus, nämlich 0,01 – bei einem flächentreuen Entwurf
sollte dort natürlich 0,00 stehen.
Außerdem sehen die Meridiane zwar wie perfekte Geraden aus, tatsächlich aber sind sie es nicht.
Für eine Grafik, die tatsächlich auf Eckerts Originalformel basiert, verweise ich auf
commons.wikimedia.org/wiki/File:Eckert_II_projection_SW.JPG.
Eckert II nach Originalformel (links) und in der Approximation (rechts)
Hufnagel 7, 9 und 10
Bei den Hufnagel-Entwürfen werden in der physischen Ansicht die Grafiken von Daan Strebe gezeigt, die auf der Originalformel basieren. Bei den anderen Ansichten (Umrisskarten und Tissot’sche Indikatrix) handelt es sich um Annäherungen aus dem Flex Projector.
Als Grundlage für Hufnagel 7 diente Wagner VII. Ich habe die Krümmung der Parallelkreise entfernt,
ihre Position und Länge angepasst, sowie die Verteilung der Meridiane geändert.
Mit einem Wert von 0,03 (anstelle von 0,00) für die Größenverzerrung weicht sie am weitesten vom Original ab,
für den Zweck des Vergleichs sollten aber selbst diese Approximationen gut genug sein – das Runterskalieren
auf etwa 1000 Pixel Breite (in dieser Auflösung werden sie hier präsentiert) verbirgt schließlich auch so einige Fehler…
Hufnagel 7 nach Originalformel und in der Approximation als Umrisskarte
Original und Approximation übereinandergelegt
Der Hufnagel 9 ist dem Eckert IV sehr ähnlich – und folglich habe ich diesen Eckert-Entwurf
dann auch als Grundlage für die Approximation genommen. Ich musste nur die Länge und die Position der Parallelkreise
etwas anpassen – der Wert für die Größenverzerrung liegt korrekterweise bei 0,00; der entsprechende Wert, wenn man nur
die Landmassen der Erde in Betracht zieht, liegt allerdings bei 0,01, was beweist, dass es immer noch kleinere
Fehler geben muss.
Ich wünschte nur, ich wüsste, wie ich die auch noch entfernen könnte…
Hufnagel 9 nach Originalformel und in der Approximation als Umrisskarte
Original und Approximation übereinandergelegt
Hufnagel 10: Auch diese Annäherungen basiert auf Eckert IV, erforderte aber mehr Änderungen als der Hufnagel 9. Und schon sind auch die Abweichungen vom Original größer: Die Größenverzerrung liegt bei 0,01 allgemein und 0,02 für die Landmassen.
Hufnagel 10 nach Originalformel und in der Approximation als Umrisskarte
Original und Approximation übereinandergelegt
Toblers Hyperellipse
Beim Tobler ist mir eine sehr nahe Annäherungen gelungen:
Sie überlagert das Gradnetz von Daniel Strebes Grafik (die nach der Originalformel generiert wurde) nahezu exakt; lediglich
zwischen 80° Nord/Süd und den Polen sind kleinere Abweichungen sichtbar. Vor allem sieht man bei 85°, dass sich die Meridiane
ziemlich seltsam biegen. Diese Abweichungen sind meiner Meinung nach aber zu vernachlässigen, vor allem
in der Auflösung, die hier für die Vergleiche genutzt wird.
Toblers Hyperellipse nach Originalformel (links) und in der Approximation (rechts)
Original und Approximation übereinander gelegt
Wagner IV
Die vorgenannten Annäherungen habe ich erstellt, weil ich keine andere Möglichkeit hatte, Grafiken von den
fraglichen Projektionen zu erzeugen. Die Wagner-IV-Approximation habe ich mir hingegen nur aus Spaß zusammengebastelt –
und weil ich sehen wollte, ob die Vorgehensweise, die ich mir ausgedacht hatte, zum Erfolg führen würde:
Mittels einer vorhandenen Vektorgrafik des des Wagner-IV-Gradnetzes konnte ich die Länge der einzelnen Breitenkreise und ihren
Abstand zum Äquator messen. Diese Werte habe ich auf Angaben, mit denen der Flex Projector etwas anfangen kann, umgerechnet und
anschließend in eine Flex-Projector-Datei (ursprünglich ein Export von Wagner VI) einkopieren. Die daraus resultierende Datei
wurde im Flex Projector geöffnet – und tatsächlich ist mir so eine Annäherung gelungen, die sehr nah ans Original herankommt.
In der Mitte der Projektion überlagert das Gradnetz der Approximation exakt das des Originals, zu den Rändern hin
zeigen sich stärker werdende Abweichungen. Wenn man sich noch ein wenig mehr Arbeit machen möchte, sollte es möglich sein,
auch diese Abweichungen noch auszubügeln.
Ich selbst wollte mir diese Arbeit aber nicht machen… ;-)
Wagner IV: Original und Approximation übereinander gelegt
Mit Hilfe dieser Wagner-IV-Approximation kann man übrigens auch eine Annäherung an den Wagner V basteln:
- Gehe in Flex Projector in den Simple Mixer.
- Wähle im oberen Menü Flex Projection (from external file) aus, und öffne die Datei wagner-4-approximation.txt.
-
Im unteren Menü selektierst Du
den Eintrag Wagner VI.
(Sollte Wagner VI nicht aufgelistet werden, musst Du diese Projektion zunächst in den Voreinstellungen von Flex Projector aktivieren.) - Verschiebe nun den Weight-Regler, bis er 58% bei Flex Sliders und 42% bei Wagner VI zeigt.
Das Resultat kommt dem Wagner V schon recht nahe – ggf. kannst Du nun in den Flex Sliders Reiter wechseln, um weitere Verbesserungen einzubringen.
Download der Approximationen
Wie ich schon gesagt habe, ist keine dieser Annäherungen perfekt.
Vielleicht hast Du Interesse daran, sie zu verbessern?
So geht’s:
-
Installiere Flex Projector.
Das Programm läuft unter Windows, Mac OS X und Linux (erfordert Java Virtual Machine Version 6 oder neuer). - Lade die unten angegebenen Referenz-Grafiken runter, die nach Hufnagels Originalformel generiert wurden, damit Du etwas hast, das Du mit Deinem Ergebnis vergleichen kannst.
-
Und natürlich: Lade die ZIP-Archive mit den Dateien für den Flex Projector runter.
Die Archive enthalten jeweils zwei Textdateien – eine »Read me«-Datei und jene, die Du im Flex Projector öffnen kannst.
Und falls Du eine bessere Version irgendeiner Projektion zustande bringst, wäre ich natürlich sehr dankbar, wenn Du mich informierst (s. Feedback).
Eckert II
– Referenzgrafik
– eckert-2-approximation.zip FlexProjector-Datei
Hufnagel 7
– Referenzgrafik
– hufnagel-7-approximation.zip FlexProjector-Datei
Hufnagel 9
– Referenzgrafik
– hufnagel-9-approximation.zip FlexProjector-Datei
Hufnagel 10
– Referenzgrafik
– hufnagel-10-approximation.zip FlexProjector-Datei
Toblers Hyperellipse
– Referenzgrafik
– tobler-approximation.zip FlexProjector-Datei
Wagner IV
– Referenzgrafik
– wagner-4-approximation.zip FlexProjector-Datei